Законы и теории множеств

До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке»,
«множество человеческих добродетелей» и т. д. — всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий
математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен
был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество,
состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам
представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества»,
рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало, что определяющие определения вроде «множество
есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою
программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах.
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся
своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь
натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё
прочее — дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт —
поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный
им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд
теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании...

Одно из основных понятий современной математики — множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не
определяется через другие.
Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое — множество,
состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918)
выразил эту мысль следующим образом: “Множество есть многое, мыслимое как единое, целое”.
Множество — это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.
Слово “множество” в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу
множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом “множество деревьев”.
Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно
рассматривать и “множества”, содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже “множество”, не содержащее ни одного предмета (пустое множество).
Например, мы говорим о множестве решений уравнения, до того как узнаем, сколько оно имеет решений (множество вещественных решений
уравнения х2+1 = 0 — пустое множество).
Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, … Пустое множество, т.е. множество, которое не
имеет элементов, обозначается символом
.
О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами.
Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a, b, c, … или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а1, а2, … ,аn.
Предложение “предмет а принадлежит множеству А”, или “предмет а — элемент множества А”, обозначают символом а
А.
Обозначения некоторых числовых множеств:
N ? множество натуральных чисел.
Z ? множество целых чисел.
Q ? множество рациональных чисел.
R ? множество действительных чисел.
Под мощностью множества принято понимать...