Основные понятия теории сравнения и некоторые способы сравнения.

Теория чисел — раздел математики, занимающийся изучением чисел непосредственно как таковых, их свойств и поведения в различных
ситуациях. В головах многих математиков, как профессионалов, так и любителей, паразитирует мнение, что теория чисел — это наиболее
абстрактная и отдаленная от практических применений математическая теория, но совершенно бесполезная с точки зрения народного
хозяйства.
Введение в математику переменных величин и функционального мышления во времена Ньютона коренным образом преобразило все
естественные науки и расширило область их применения, изменив сам стиль исследовательской деятельности. Не избежала этой участи и
теория чисел, в которой функциональный взгляд на многие числовые явления позволяет легко и быстро получать красивые и полезные
утверждения.
В теории чисел есть целая область знаний, в которой изучаются способы сравнения чисел. В 19 веке Гаусс создал теорию сравнений,
называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является
суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой
четырёх квадратов целых чисел. Кроме того, теория сравнений привела к важным понятиям теоретико-числового характера и
тригонометрической суммы. Простейшим характером является Лежандра символ.
Арифметические приложения теории сравнений: - это область науки, включающая такие понятии из основ арифметики, как деление с
остатком, деление по модулю, целочисленное вычисление, отыскание остатков от деления некоторого числа на заданное число;
установление признаков делимости чисел; понятие об алгебраических и трансцендентных числах: алгебраические и трансцендентные числа.
В данной работе рассмотрим основные понятия теории сравнения и некоторые способы сравнения.

На современном нам этапе теории чисел для решения вопросов теории обыкновенных целых рациональных чисел используются, кроме
элементарного, в основном четыре метода:
1) теория алгебраических чисел (и других алгебр);
2) теория алгебраических функций;
3) аналитическая теория чисел;
4) геометрия чисел.
Обыкновенные целые числа ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... являются основой всей математики. В отношении сложения они образуют весьма
простую совокупность (бесконечную циклическую абелеву группу), а именно: ..., –1 – 1, –1, 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ..., единственным исходным
кирпичом которой является число 1. В отношении же к умножению тот же ряд целых чисел имеет уже вовсе не простую структуру. А именно
тех простейших кирпичей, из которых строятся умножением все целые числа, бесконечно много — это простые числа, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, ... Натуральные числа, большие 1, получаются из них умножением так: 2, 3, 2·2, 5, 2·3, 7, 2·2·2, 3·3, 2·5, 11, 2·2·3, 13, 2·7, 3·5, 2·
2·2·2, 17, ... Для того же, чтобы умножением получить все целые рациональные числа, надо ещё привлечь обе единицы; 1 и –1 и число 0.
Уже даже самый простой вопрос, как идут в ряду натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... простые числа, до настоящего времени представляет
непреодолимые трудности. Со времён Эвклида доказано, что их бесконечно много. Но только Чебышёву в 1849 г. удалось показать, что число
?(N) простых чисел, меньших данного предела N, приблизительно равно N/ln N, а затем Адамару и Валле-Пуссену — что отношение ?(N):N/ln N
стремится к пределу 1. Лишь совсем недавно, в 1937 г., И. М. Виноградову в знаменитой работе удалось доказать, что любое достаточно
большое натуральное число N есть сумма четырёх простых чисел. Но, например, до сих пор не удаётся выяснить, встречаются ли сколь
угодно далеко так называемые «близнецы», т.е. простые числа, отличающиеся друг от друга на число 2, как пара 101 и 103 или пара 8004119 и
8004121.
Вся трудность...