Размерность Хаусдорфа и системы итерированных функций

1. Введение
В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы класси¬ческих вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладки¬ми или регулярными, часто игнорировались как «патологические» и не стоящие изучения.
В последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, ибо нерегулярные функции (мно¬жества) обеспечивают значительно лучшее представление многих при¬родных явлений, чем те, которые дают объекты классической геомет-рии.
Фрактальная геометрия связана с изучением таких нерегулярных множеств. Основной объект фрактальной геометрии – фракта¬лы – находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алго¬ритмах сжатия информации. Столь популярные ныне фрактальные объ¬екты – порождение нашего компьютерного мира, и их сфера примене¬ния еще до конца не раскрыта.
В последние 30 лет фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга франко – американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В настоящее время нет однозначного определения «фракта¬ла». Следуя Лаверье, фрактал – это геометрическая фигура, в кото¬рой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении мас¬штаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в ре¬зультате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных пре¬образований), будем называть конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал – это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной «точкой» – фракталом.
Наряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похожи на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и, в первую очередь, в дискретных динамических системах. Их построение не так просто, как в случае конструктивных фракталов, и они могут обладать масштабной инвариантностью лишь...

Заключение
В первой части работы написаны основные определения, касающиеся теории фракталов в целом, а так же приведён ряд примеров их использования.
Вторая часть является основным исследованием в данной работе. Рассмотрены вопросы о существовании и нахождении размерности Хаусдорфа для различных фрактальных множеств, на примере множества Кантора (глава 2.3) и ковра Серпинского (глава 2.4).
В третей части работы описаны системы итерированных функций (СИФ), которые в настоящее время применяются для сжатия изображений. Изучение СИФ может способствовать улучшению существующих алгоритмов сжатия изображений. Создана программа для построения классических фракталов: кривой Коха, кривой дракона и треугольника Серпинского, а так же их вариаций. Данная программа использует системы итерированных функций в основе алгоритма для построения фракталов.