    Сейчас на сайте: 1 посетителей (1 зарегистрированных, 0 гостей) |   426057681  574055213 |  Партнерам |  Авторам |  Покупателям |
Групповой анализ уравнения томаса-ферми.
| дипломные работы, Математика Объем работы: 89 стр. Год сдачи: 2013 Стоимость: 150 руб. Просмотров: 905 | Не подходит работа? |
Оглавление
Введение
Содержание
Заключение
Заказать работу
Оглавление
Введение 3
1 Группы преобразований 5
1.1 Однопараметрические группы на плоскости 5
1.2 Генератор группы и уравнения Ли 6
1.3 Экспоненциальное отображение 8
1.4 Инварианты и инвариантные уравнения 9
1.5 Канонические переменные 13
2 Симметрии уравнений первого порядка 15
2.1 Первое продолжение генераторов группы 15
2.2. Группа симметрии: определение и основное свойство 16
2.3. Уравнения с заданной симметрией 18
3. Интегрирование уравнений первого порядка с использованием симметрии 20
3.1. Интегрирующий множитель Ли 20
3.2. Интегрирование с применением канонических переменных 23
3.3. Инвариантные решения 27
3.4. Общее решение, получаемое с помощью инвариантных решений 28
4 Уравнения второго порядка 29
4.1. Второе продолжение генераторов группы. Вычисление симметрии 29
4.2. Алгебры Ли 32
4.3. Стандартные формы двумерной алгебры Ли 34
4.4. Метод интегрирования С. Ли 35
4.5. Интегрирование линейных уравнений с известными частными решениями 42
4.6. Тест линеаризации Софуса Ли 44
5. Уравнения высокого порядка 49
5.1. Инвариантные решения. Подход Эйлера к дифференцированию 49
5.2. Интегрирующий множитель 51
5.3. Линеаризация уравнений третьего порядка 60
6. Нелинейная суперпозиция 68
6.1. Введение 68
6.2. Основная теорема о нелинейной суперпозиции 71
Задача 77
Выводы по работе 83
Список литературы 84
Введение 3
1 Группы преобразований 5
1.1 Однопараметрические группы на плоскости 5
1.2 Генератор группы и уравнения Ли 6
1.3 Экспоненциальное отображение 8
1.4 Инварианты и инвариантные уравнения 9
1.5 Канонические переменные 13
2 Симметрии уравнений первого порядка 15
2.1 Первое продолжение генераторов группы 15
2.2. Группа симметрии: определение и основное свойство 16
2.3. Уравнения с заданной симметрией 18
3. Интегрирование уравнений первого порядка с использованием симметрии 20
3.1. Интегрирующий множитель Ли 20
3.2. Интегрирование с применением канонических переменных 23
3.3. Инвариантные решения 27
3.4. Общее решение, получаемое с помощью инвариантных решений 28
4 Уравнения второго порядка 29
4.1. Второе продолжение генераторов группы. Вычисление симметрии 29
4.2. Алгебры Ли 32
4.3. Стандартные формы двумерной алгебры Ли 34
4.4. Метод интегрирования С. Ли 35
4.5. Интегрирование линейных уравнений с известными частными решениями 42
4.6. Тест линеаризации Софуса Ли 44
5. Уравнения высокого порядка 49
5.1. Инвариантные решения. Подход Эйлера к дифференцированию 49
5.2. Интегрирующий множитель 51
5.3. Линеаризация уравнений третьего порядка 60
6. Нелинейная суперпозиция 68
6.1. Введение 68
6.2. Основная теорема о нелинейной суперпозиции 71
Задача 77
Выводы по работе 83
Список литературы 84
1 Группы преобразований
1.1 Однопараметрические группы на плоскости
Рассмотрим изменение переменных х, у, связанное с параметром а:
Т_a: x ̅=φ(x,y,a),y ̅=ψ(x,y,a), (1.1.1)
где функции φ и ψ удовлетворяют условиям
T_0: φ(x,y,0)=x, ψ (x,y,0)=y (1.1.2)
Предполагается, что φ(x,y,a) и ψ(x,y,a) функционально независимы, то есть их якобиан отличен от нуля
|■(φ_x&φ_y@ψ_x&ψ_y )|≠0
Уравнения Та (1.1.1) можно рассматривать как переход произволь¬ной точки P=(x,y) плоскости (x,y) в новое положение P ̅=(x,y) и записывать P ̅=T_a (P). Соответственно, обратное преобразованиеT_a^(-1), имеющее вид
T_a^(-1):x=φ^(-1) (x,y,a),y=ψ^(-1) (x,y,a), (1.1.3)
возвращает P ̅ в начальное положение Р, то есть
T_a^(-1) (P ̅ )=P
Более того, уравнения (1.1.2) означают, что T_0 — тождественное преоб-разование:
T_0 (P)=P
Пусть Та и T_b — два преобразования (1.1.1) с различными значения¬ми параметра: а и Ь. Их композиция (или произведение) T_b T_a определя¬ется как последовательное выполнение этих преобразований и задается равенствами
x ̿=φ(x ̅,y ̅,b)=φ(φ(x,y,a),ψ(x,y,a),b)
y ̿=ψ(x ̅,y ̅,b)=ψ(φ(x,y,a),ψ(x,y,a),b) (1.1.4)
Геометрическая интерпретация произведения состоит в следующем. По-скольку Та перемещает точку Р в точку P ̅=T_a (P) а T_b перемещает её далее в положение P ̿=T_b (P ̅ ), то произведение T_b T_a переносит Р пря-мо в конечное положение Р ̅, без промежуточной остановки в точке Р. Таким образом, (1.1.4) означает, что
P ̿≝T_b (P ̅ )=T_b T_a (P).
Определение 1.1. Однопараметрическое семейство G преобразова¬ний (1.1.1) с учетом начальных условий (1.1.2) называется однопараметрической группой, если G содержит обратное преобразование (1.1.3) и композицию T_b T_a всех своих элементов:
T_b...
1.1 Однопараметрические группы на плоскости
Рассмотрим изменение переменных х, у, связанное с параметром а:
Т_a: x ̅=φ(x,y,a),y ̅=ψ(x,y,a), (1.1.1)
где функции φ и ψ удовлетворяют условиям
T_0: φ(x,y,0)=x, ψ (x,y,0)=y (1.1.2)
Предполагается, что φ(x,y,a) и ψ(x,y,a) функционально независимы, то есть их якобиан отличен от нуля
|■(φ_x&φ_y@ψ_x&ψ_y )|≠0
Уравнения Та (1.1.1) можно рассматривать как переход произволь¬ной точки P=(x,y) плоскости (x,y) в новое положение P ̅=(x,y) и записывать P ̅=T_a (P). Соответственно, обратное преобразованиеT_a^(-1), имеющее вид
T_a^(-1):x=φ^(-1) (x,y,a),y=ψ^(-1) (x,y,a), (1.1.3)
возвращает P ̅ в начальное положение Р, то есть
T_a^(-1) (P ̅ )=P
Более того, уравнения (1.1.2) означают, что T_0 — тождественное преоб-разование:
T_0 (P)=P
Пусть Та и T_b — два преобразования (1.1.1) с различными значения¬ми параметра: а и Ь. Их композиция (или произведение) T_b T_a определя¬ется как последовательное выполнение этих преобразований и задается равенствами
x ̿=φ(x ̅,y ̅,b)=φ(φ(x,y,a),ψ(x,y,a),b)
y ̿=ψ(x ̅,y ̅,b)=ψ(φ(x,y,a),ψ(x,y,a),b) (1.1.4)
Геометрическая интерпретация произведения состоит в следующем. По-скольку Та перемещает точку Р в точку P ̅=T_a (P) а T_b перемещает её далее в положение P ̿=T_b (P ̅ ), то произведение T_b T_a переносит Р пря-мо в конечное положение Р ̅, без промежуточной остановки в точке Р. Таким образом, (1.1.4) означает, что
P ̿≝T_b (P ̅ )=T_b T_a (P).
Определение 1.1. Однопараметрическое семейство G преобразова¬ний (1.1.1) с учетом начальных условий (1.1.2) называется однопараметрической группой, если G содержит обратное преобразование (1.1.3) и композицию T_b T_a всех своих элементов:
T_b...
Целью квалификационной работы является изучение общих методов интегрирования линейных и не линейных обыкновенных дифференцированных уравнений аналитически с использование симметрии.
Идея симметрии пронизывает все математические модели, формируемые в терминах дифференцированных уравнений. Математический аппарат для нахождения и использования симметрии дифференциальных уравнений, которые представляют собой теория непрерывных групп, введен и разработан выдающимся математиком двадцатого века Софусом Ли.
В первой главе рассматриваются основные группы преобразований: генераторы, инварианты, канонические переменные, которые используются для интегрирования линейных и не линейных обыкновенных дифференцированных уравнений.
В последующих главах рассматривается основные концепции группового анализа для уравнений первого, второго и высокого порядка. Все вводимые понятия работы сопровождаются примерами, характер которых весьма разнообразен. С одной стороны имеются почти тривиальные иллюстрации теоретического материала, с другой же стороны, часто дается изложение доказательств некоторых теорем, имеющих вполне самостоятельное значение.
Рассмотрим один из примеров √x×y^''=y^1,5
Уравнение второго порядка решается с использованием генератора ли
X=ξ(x,y) d/dx+η(x,y) d/dy .
После получения ответа находим инвариантные переменные, понижаем порядок уравнения.
Идея симметрии пронизывает все математические модели, формируемые в терминах дифференцированных уравнений. Математический аппарат для нахождения и использования симметрии дифференциальных уравнений, которые представляют собой теория непрерывных групп, введен и разработан выдающимся математиком двадцатого века Софусом Ли.
В первой главе рассматриваются основные группы преобразований: генераторы, инварианты, канонические переменные, которые используются для интегрирования линейных и не линейных обыкновенных дифференцированных уравнений.
В последующих главах рассматривается основные концепции группового анализа для уравнений первого, второго и высокого порядка. Все вводимые понятия работы сопровождаются примерами, характер которых весьма разнообразен. С одной стороны имеются почти тривиальные иллюстрации теоретического материала, с другой же стороны, часто дается изложение доказательств некоторых теорем, имеющих вполне самостоятельное значение.
Рассмотрим один из примеров √x×y^''=y^1,5
Уравнение второго порядка решается с использованием генератора ли
X=ξ(x,y) d/dx+η(x,y) d/dy .
После получения ответа находим инвариантные переменные, понижаем порядок уравнения.
Выводы по работе
Проведен групповой анализ уравнения Томаса-Ферми.
Установлено что данное уравнение допускает группу неоднородных растяжений и может быть сведено к уравнению первого порядка
Полученное уравнение порядка не допускает интегрирования в квадратурах, следовательно, необходимо целочисленное решение
Установлено что найденное частное решение y=144/x^3 является инвариантным решением.
Проведен групповой анализ уравнения Томаса-Ферми.
Установлено что данное уравнение допускает группу неоднородных растяжений и может быть сведено к уравнению первого порядка
Полученное уравнение порядка не допускает интегрирования в квадратурах, следовательно, необходимо целочисленное решение
Установлено что найденное частное решение y=144/x^3 является инвариантным решением.
После офорления заказа Вам будут доступны содержание, введение, список литературы*
*- если автор дал согласие и выложил это описание.